Bài 1:
a) Tính: A=\(\sin^22^0+\sin^24^0+.........+\sin^286^0+\sin^288^0\)
b) CMR: Biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
P= 1994(sin6x+cos6x)-2991(sin4x+cos4x)
Chứng minh biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x
A = 3(sin4x + cos4x) -2(sin6x+cos6x)
\(A=3\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^2-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x\right]-2\left[\left(sin^2x+cos^2x\right)^3-3\cdot sin^2x\cdot cos^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)\right]\)
\(=3\left[1-2\cdot sin^2x\cdot cos^2x\right]-2\left[1-3\cdot sin^2x\cdot cos^2x\right]\)
\(=3-6\cdot sin^2x\cdot cos^2x-2+6\cdot sin^2x\cdot cos^2x\)
=1
Cho 0 <x< 90 0 . Chứng minh các đẳng thức sau:
a, sin 4 x + cos 4 x = 1 - 2 sin 2 x cos 2 x
b, sin 6 x + cos 6 x = 1 - 3 sin 2 x cos 2 x
a, Ta có: sin 4 x + cos 4 x = sin 2 x + cos 2 x 2 - 2 sin 2 x . cos 2 x = 1 - 2 sin 2 x . cos 2 x
b, Ta có: sin 6 x + cos 6 x = sin 2 x + cos 2 x 3 - 3 sin 2 x cos 2 x sin 2 x + cos 2 x = 1 - 3 sin 2 x cos 2 x
CMR: Biểu thức sau không phụ thuộc vào x: A=-sin⁴x +cos⁴x + 2sin²x B=sin⁴x + cos²x × sin²x + cos²x C= cos⁴x + cos²x × sin²x + cos²x
b: \(B=sin^2x\left(sin^2x+cos^2x\right)+cos^2x\)
\(=sin^2x+cos^2x=1\)
c: \(=cos^2x\left(cos^2x+sin^2x\right)+cos^2x\)
=cos^2x+cos^2x
=2*cos^2x có phụ thuộc vào x nha bạn
Giải các phương trình sau:
\(5\sin^22x-6\sin4x-2\cos^2x=0\)
\(2\sin^23x-10\sin6x-\cos^23x=-2\)
\(\sin^2x\left(\tan x+1\right)=3\sin x\left(\cos x-\sin x\right)+3\)
\(6\sin x-2\cos^3x=\frac{5\sin4x.\cos x}{2\cos2x}\)
Cho biểu thức \(P\left(x\right)=\frac{\sqrt[3]{x^2}+x}{x^2+2}\) . Tính giá trị tổng :
\(S=P\left(sin^21^0\right)+P\left(sin^22^0\right)+P\left(sin^23^0\right)+P\left(sin^24^0\right)+...+P\left(sin^250^0\right)\)
Phương trình: c o s 4 x + sin 4 x + cos ( x - π 4 ) . sin ( 3 x - π 4 ) - 3 2 = 0 có nghiệm là:
Tính giá trị của biểu thức
A=\(\sin^210^0+\sin^220^0+\sin^230^0+...+\sin^280^0+2013\)
B=\(\cos^21^0+\cos^22^0+...+\cos^289^0\)
C=\(\frac{\sin33^0}{\cos57^0}+\frac{\tan32^0}{\cot58^0}-2\left(\sin20^0.\cos70^0+\cos20^0.\sin70^0\right)\)
D=\(4\cos^2a-6\sin^2a\) biết \(\sin a=\frac{1}{5}\)
Giải phương trình lượng giác:
24) \(\cos2x-\cos6x+4\left(3\sin x-4\sin^3x+1\right)=0\)
25) \(\sin^2x-2\sin x+2=\sin^23x\)
SGP.Capheny - Trang của SGP.Capheny - Học toán với OnlineMath
@SGP.Capheny
30. \(\tan x+\cot x=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
ĐK: \(x\ne\frac{k\pi}{2}\)
pt <=> \(\frac{1}{\sin x.\cos x}=2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
<=> \(\frac{1}{\sin2x}=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)
Đánh giá: \(-1\le\sin2x\le1\)
=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{1}{\sin2x}\le-1\\\frac{1}{\sin2x}\ge1\end{cases}}\)
\(-1\le\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le1\)
Như vậy dấu "=" xảy ra <=> \(\orbr{\begin{cases}\frac{1}{\sin2x}=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1\\\frac{1}{\sin2x}=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{cases}}\)
<=> \(\orbr{\begin{cases}\sin2x=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1\\\sin2x=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\end{cases}}\)
TH1: \(\sin2x=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-1\)
<=> \(\hept{\begin{cases}2x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=-\frac{3\pi}{4}+k2\pi\end{cases}}\)loại
TH2:
\(\sin2x=\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\)
<=> \(\hept{\begin{cases}2x=\frac{\pi}{2}+k2\pi\\x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}+k2\pi\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{\pi}{4}+k\pi\\x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\end{cases}}\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k2\pi\)
Vậy ...
29) \(\sin x-2\sin2x-\sin3x=2\sqrt{2}\)
<=> \(\left(\sin x-\sin3x\right)-2\sin2x=2\sqrt{2}\)
<=> \(-2.\sin x\cos2x-2\sin2x=2\sqrt{2}\)
<=> \(\sin x\cos2x+\sin2x=-\sqrt{2}\)
Ta có: \(\left(\sin x\cos2x+\sin2x\right)^2\le\left(\sin^2x+1\right)\left(\sin^22x+\cos^22x\right)=\sin^2x+1\le2\)
( theo bunhia)
=> \(-\sqrt{2}\le\sin x\cos2x+\sin2x\le\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{\sin x}{1}=\frac{\cos2x}{\sin2x}\)(1) và \(\sin x\cos2x+\sin2x=-\sqrt{2}\)(2)
(1) <=> \(\frac{\sin x.\cos2x}{1}=\frac{\cos^22x}{\sin2x}\)=> (2) <=> \(\frac{\cos^22x}{\sin2x}+\sin2x=-\sqrt{2}\)
<=> \(\frac{1}{\sin2x}=-\sqrt{2}\)<=> \(\sin2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-\frac{\pi}{8}+k\pi\\x=-\frac{3\pi}{8}+k\pi\end{cases}}\)
(1) <=> \(\sin x.\sin2x=\cos2x\)=> (2) <=> \(\sin x.\sin x.\sin2x+\sin2x=-\sqrt{2}\)
<=> \(\frac{\sin^2x}{2}+\frac{1}{2}=+1\Leftrightarrow\sin^2x=1\)=> \(\cos^2x=0\)loại vì \(\sin2x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
Vậy pt vô nghiệm
28. \(\sqrt{5+\sin^23x}=\sin x+2\cos x\)
có: \(\sqrt{5+\sin^23x}\ge\sqrt{5}\)
\(\left(\sin x+2\cos x\right)^2\le\left(1^2+2^2\right)\left(\sin^2x+\cos^2x\right)=5\)
<=> \(\sin x+2\cos x\le\sqrt{5}\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\sin3x=0\\\frac{1}{2}=\frac{\sin x}{\cos x}\\\sin x+2\cos x=\sqrt{5}\end{cases}}\)hệ vô nghiệm
Tính giá trị đúng của các biểu thức sau (không dùng máy tính cầm tay):
a) \(A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}\)
b) \(B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}\)
c) \(C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}\)
d) \(D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}\)
e) \(E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}\)
a) \(A = \cos {0^o} + \cos {40^o} + \cos {120^o} + \cos {140^o}\)
Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\cos {0^o} = 1;\;\cos {120^o} = - \frac{1}{2}\)
Lại có: \(\cos {140^o} = - \cos \left( {{{180}^o} - {{40}^o}} \right) = - \cos {40^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow A = 1 + \cos {40^o} + \left( { - \frac{1}{2}} \right) - \cos {40^o}\\ \Leftrightarrow A = \frac{1}{2}.\end{array}\)
b) \(B = \sin {5^o} + \sin {150^o} - \sin {175^o} + \sin {180^o}\)
Tra bảng giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt, ta có:
\(\sin {150^o} = \frac{1}{2};\;\sin {180^o} = 0\)
Lại có: \(\sin {175^o} = \sin \left( {{{180}^o} - {{175}^o}} \right) = \sin {5^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B = \sin {5^o} + \frac{1}{2} - \sin {5^o} + 0\\ \Leftrightarrow B = \frac{1}{2}.\end{array}\)
c) \(C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \sin {75^o} - \sin {55^o}\)
Ta có: \(\sin {75^o} = \cos\left( {{{90}^o} - {{75}^o}} \right) = \cos {15^o}\); \(\sin {55^o} = \cos\left( {{{90}^o} - {{55}^o}} \right) = \cos {35^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow C = \cos {15^o} + \cos {35^o} - \cos {15^o} - \cos {35^o}\\ \Leftrightarrow C = 0.\end{array}\)
d) \(D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.\tan {115^o}\)
Ta có: \(\tan {115^o} = - \tan \left( {{{180}^o} - {{115}^o}} \right) = - \tan {65^o}\)
Mà: \(\tan {65^o} = \cot \left( {{{90}^o} - {{65}^o}} \right) = \cot {25^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow D = \tan {25^o}.\tan {45^o}.(-\cot {25^o})\\ \Leftrightarrow D =- \tan {45^o} = -1\end{array}\)
e) \(E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.\cot {100^o}\)
Ta có: \(\cot {100^o} = - \cot \left( {{{180}^o} - {{100}^o}} \right) = - \cot {80^o}\)
Mà: \(\cot {80^o} = \tan \left( {{{90}^o} - {{80}^o}} \right) = \tan {10^o}\Rightarrow \cot {100^o} =- \tan {10^o}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow E = \cot {10^o}.\cot {30^o}.(-\tan {10^o})\\ \Leftrightarrow E = -\cot {30^o} =- \sqrt 3 .\end{array}\)